Velocità terminale delle meteore

Il famoso cratere meteorico di Barringer in Arizona.                                         Credito immagine: Charles and Josette Lenars/CORBIS @ Smithsonian Insitute.

Il tema dei precedenti post era influenzato dalle meteore di Agosto. Può essere allora interessante effettuare qualche semplice calcolo per stimare la velocità con cui  a volte questi oggetti raggiungono il suolo come meteoriti. Usiamo il termine meteorite nell’accezione più restrittiva di corpi che (a meno di interessare aree urbanizzate), cadono per lo più inosservati, inascoltati e trasportano energie incapaci di craterizzare il suolo d’impatto. Le loro dimensioni spaziano tra qualche metro (la più grande meteorite singola trovata sul suolo terrestre è quella ferrosa di Hoba in Namibia: volume di 6,5 metri cubi per 66 tonnellate di massa originaria) a qualche millimetro o anche meno (micro-particelle di polvere interplanetaria o IDP).Ogni anno sulla Terra si depositano migliaia di tonnellate di polvere cosmica: in parte proveniente da fine materiale meteorico sopravvissuto all’ingresso atmosferico ( micro-meteoriti), ma soprattutto dall’ablazione aerodinamica di grosse meteoroidi che dall’atmosfera vengono distrutte. Tutti possiamo verificare la consistenza di questa pioggia di polveri, filtrando lo scarico dei pluviali delle nostre case.Le maggiori abbondanze sono però rinvenute nei sedimenti dei fondali oceanici, nelle calotte polari e sospese nella stratosfera.

Gli oggetti di cospicue dimensioni, hanno un comportamento del tutto peculiare: conservando buona parte della quantità di moto cosmico di ingresso, esplodono  nella bassa atmosfera e liberano energie colossali capaci di generare onde d’urto distruttive. I frammenti maggiori (pesanti anche qualche decina di migliaia di tonnellate), possono poi generare crateri del taglio di quello di Canyon Diablo ( cratere di Barringer ) o più grandi. Tutto questo rende molto difficile delinearne il comportamento energetico e la cinematica, quindi non azzardo nessuna considerazione riguardo ad essi. Per contro, gli oggetti di piccole dimensioni hanno un comportamento prevedibile. Come detto in altri articoli , tutti i meteoroidi entrano in atmosfera ad una velocità compresa tra 12 e 72 km/s, come risulta dalla differenza e somma rispettivamente, tra la velocità di fuga dal Sistema Solare e quella media orbitale terrestre. Tra 100 ed 80 chilometri si instaura ed esaurisce il fenomeno luminoso ( ionizzazione/ricombinazione degli atomi dell’oggetto e dell’aria), attivato per qualche secondo dal calore di compressione aerodinamica  (pressione RAM) e dall’ablazione del materiale. Il repentino rilascio di energia (meno dell’ 1% dell’ energia cinetica viene trasformata in luce visibile), distrugge i corpi veloci e di piccola massa che vaporizzano quasi sempre entro 50 chilometri di altezza. Di solito, oggetti di massa superiore ad 1/10 di chilogrammo ( ma non superiore a qualche centinaio di tonnellate), caratterizzati da angolo d’ingresso e velocità modesti, nonché di apprezzabile resistenza alla compressione, possono sopravvivere a quote minori e  giungere silenti al suolo. Il caso più significativo è quello già citato di Hoba, una lastra piatta che entrò in atmosfera quasi radente e che quindi nonostante pesasse quasi 70 tonnellate, si adagiò al suolo scavando appena una buca. Ma come detto anche sopra, data la notevole quantità di materiale che nel Sistema Solare vaga sino allo spazio confinante con l’atmosfera Terra, tutti i giorni si depositano al suolo anche tonnellate di microscopici detriti spaziali che in qualche modo si conservano.Perché questo si verifichi occorre che l’ energia cinetica e quindi la velocità residua associata agli IPD come ai meteoridi di dimensioni “ordinarie”, sia completamente dissipata prima della vaporizzazione e dell’ eventuale deflagrazione (del materiale più massivo): sotto l’influenza della gravità terrestre, da una quota compresa tra i 5 ed i 30 chilometri, per quello che prima era un meteoroide, comincia allora il dark flight, ossia la caduta (che dura qualche minuto) invisibile  perché non più osservabile otticamente.E’ una situazione non molto diversa da quella che sperimenterebbe un sasso che precedentemente lanciato in aria, si arresti e attratto dal campo gravitazionale terrestre, cominci la discesa (che per semplicità supponiamo verticale). Per quanto riguarda i sassi spaziali, si è riscontrato come questa dinamica si attagli maggiormente al materiale asteroidale, ( localizzato prevalentemente nella c.d fascia principale, posta tra Marte e Giove), che a causa della composizione e delle caratteristiche orbitali, è in genere più massivo, lento e luminoso (bolidi) di quello cometario. Le meteoriti cometarie sono più rare perché, disponendo di maggiore energia, sono più sovente vaporizzare interamente dal calore generato e anche perché di composizione chimica più fragile.

Torniamo alle nostre considerazioni al contorno.Perché un oggetto possa allontanarsi indefinitamente dalla superficie terrestre, deve muoversi alla c.d velocità di fuga Vf o seconda velocità cosmica ( la prima velocità cosmica è quella che immette l’oggetto in un’orbita circolare attorno alla Terra).La si ottiene eguagliando l’energia meccanica e quella potenziale gravitazionale:

E_m=1/2\ m\ v^2=U=mgr\ \to \ 1/2mv^2=r\ GMm/r^2\rightarrow 1/2v^2=GM/r \rightarrow v_f=[GM/r]^{1/2}

G è la costante di gravitazione universale e vale  6,676\cdot 10^{-11}\ \ [m^3\ kg^{-1}\ s^{-2}]r è la distanza dal centro di massa M ( in questo caso il centro della Terra), ed m è la massa della meteorite. Ma, come insegna la teoria della relatività generale, massa inerziale e massa gravitazionale sono la stessa cosa, quindi m sparisce nell’equazione finale: in assenza di resistenza una piuma ed un frigorifero si comportano nello stesso indistinguibile modo in uno stesso campo gravitazionale (ad esempio cadrebbero sulla superficie terrestre alla stessa velocità e nello stesso tempo).

Rimanendo entro il Sistema Solare, non serve lanciare un razzo alla Vf; esso può essere immesso in un orbita di parcheggio alla velocità circolare o prima velocità cosmica (v_c=\sqrt{2}\cdot v_f= 7,9\ km/s) e poi indirizzato a seconda del suo scopo. Quella di fuga è il minimo impulso iniziale che va impresso ad un oggetto affinché esso a distanza infinita,abbia velocità relativa nulla  rispetto alla Terra. Per converso, Vf sarebbe anche la massima velocità con cui un oggetto proveniente da grande distanza, impatterebbe il nostro pianeta, se quest’ultimo fosse privo di atmosfera.Si legge spesso che non 12 ma 11,2 km/s sia la minima velocità d’ingresso, ma per le ragioni appena accennate, non credo che ciò sia corretto.Potrei comunque sbagliarmi. Ad ogni buon conto, il nostro mondo è fortunatamente cinto da un’atmosfera.

Occorre allora introdurre il concetto di velocità terminale, cioè la maggior velocità che può raggiungere un corpo in moto attraverso un fluido (l’aria), sotto l’azione della forza di gravità. Essa è una velocità di regime, nel senso che raggiunta l’eguaglianza tra la resistenza dell’ aria e l’attrazione terrestre, la forza netta applicata al corpo è nulla ed il moto non è più soggetto ad accelerazione. Quindi, semplificando al massimo e tralasciando le forze di galleggiamento:

F_n_e_t=F_g_r_a_v-F_r_e_s=0

La forza resistente, naturalmente opposta e per definizione uguale in modulo a quella di gravità, viene espressa come segue:

F_r_e_s= 1/2 \sigma\ A \ C_r\ v^2

Uno skydiver.Fonte immagine: www.aib-insurance.co.uk

ove con \sigma si indica la densità dell’ aria, conA la cross section del corpo in moto relativo, con C_r il coefficiente di resistenza del mezzo e con v la velocità relativa aria-meteora.Chi si interessa di volo, sa che questa formula giustifica la portanza di aeroplani ed alianti, ed è nota come principio di Bernoulli. Giocando su A e C_r  alcuni skydivers primatisti, hanno raggiunto l’ incredibile  velocità di 480 km/h.

F_g_r_a_v= m g , ma per evitare di avere a che fare direttamente con la massa di quello che ora dovremmo correttamente chiamare meteorite, la sostituiamo con la sua densità \sigma_m_e_t :

F_g_r_a_v= g\ \sigma_m_e_t\ Vove V è ovviamente il volume della meteorite.Eguagliando nuovamente:

 1/2 \sigma\ A \ C_r\ v^2=g \ \sigma_m_e_t\ V

e risolvendo per la velocità terminale:

v_t=\left [ \frac{2g \sigma_m_e_t\ V}{{A\ C_r\ \sigma}} \right ] ^{1/2}Assumendo che la meteorite possegga forma sferica, la sua cross section corrisponde all’area del cerchio, ed il coefficiente di resistenza vale circa un mezzo. Quindi A=4\pi r^2 e Cr=0,5. Supponiamo anche che la caduta avvenga sulla verticale.Abbiamo allora:

                                            v_t=\left [ \frac{2g \sigma_m_e_t\ 4\pi r^3}{{3\pi\ r^2\ C_r}} \right ] ^{1/2}\to v_t=\left [ \frac{8\ g\ \sigma_m_e_t\ r}{{3\ \ C_r\ \sigma}} \right ] ^{1/2}.

Controllando se l’espressione dimensionale riporta alla velocità e tralasciando C_r che è adimensionale,\frac{m\cdot\ m\cdot Kg\cdot m^3}{s^2\cdot m^3\cdot kg}= \frac{m}{s}sappiamo anche in quali unità esprimere le grandezze in gioco.

Qual’è dunque la velocità terminale della nostra meteorite? Inseriamo i valori numerici:

g= 9,8\ ms^{-2}\ ;\ \ \ C_r=0,5\ \ ;\ \ \sigma= 1,225\ kg/m^3. La densità dell’aria è presa in atmosfera standard.La densità della meteorite dipende dal materiale, il suo raggio lo consideriamo di  3 cm.

Specie chimica Densità media (kg/m^3)Velocità terminale (m/s)
Condriti ordinarie330064,9
Condriti carbonacee285060,4
Enstatiti360067,8
Acondriti290060,9
Rocciose-ferrose450075,9
Ferrose8000101,2

Come si vede,maggiore è la densità del corpo, maggiore la sua velocità finale: il “peso” è infatti proporzionale al cubo del raggio, mentre la forza di resistenza aerea, solo al quadrato del raggio.Le gocce d’acqua della pioggia arrivano al suolo ad una  velocità indolore di circa 45 chilometri orari; se non avessimo un’atmosfera ed il loro moto fosse accelerato, esse potrebbero ucciderci! Le nuvole, ( che sono formate da gocce d’acqua e cristalli di ghiaccio), avendo una velocità terminale molto esigua, scendono molto lentamente, anzi galleggiano sospinte dal vento.

Evidentemente oltre che in relazione alla massa, la densità assume importanza perché legata alla superficie offerta all’aria. Se quindi due corpi possiedono diversa densità ma stessa massa, quello meno denso sarà  più lento perché in questo caso più esteso.

Come detto in apertura, la semplice applicazione delle precedenti formule ad oggetti di taglia decisamente maggiore, si rivela un errore. Il NEO che il  15 Febbraio 2013 ha sconquassato la regione russa di Chelyabinsk, avrebbe infatti una velocità terminale compresa tra gli 8 e i 9 km/s. L’oggetto,una condrite ordinaria di circa 20 metri e avente massa stimata intorno alle 11.00 tonnellate, è entrato in atmosfera a circa 19 km/s.In ogni caso la velocità terminale andrebbe riferita ai frammenti prodotti (grossi anche 650 kg, come quello recuperato dal lago Chebarkul) e sparsi nello strawn field.I risultati di studi recenti, dicono che questa dovrebbe essere stata di circa 40 km/s. Una discrepanza notevole, le cui ragioni sono varie: conservazione di buona parte dell’ energia posseduta in precedenza, angolo di ingresso in atmosfera di circa 20° , esplosione ad una quota compresa tra i 15 ed i 25 chilometri di altezza.Anche considerando una densità dell’ aria diversa da quella da noi supposta ( a 20 chilometri di altezza sarebbe di 0,095 Kg/m^3), i conti non tornano. Considerando che nel caso dell’ altro grande impatto documentato in età contemporanea, quello di Tunguska, la dinamica era analoga, c’è quindi da ipotizzare che gli oggetti di grosse dimensioni causino complessi scenari molto simili tra loro e difficilmente analizzabili.

Infine una stima dell’ energia meccanica \Delta E liberata dall’impatto delle nostre meteoriti,la si ottiene considerando che:

\Delta E= E_f-E_i=\ \ \ \ \frac{1}{2}m v_f^{2}-\frac{1}{2}m v_i^{2}ove E_f è l’ energia cinetica finale; E_i quella iniziale, m è la massa e v la velocità. Trattandosi di piccoli corpuscoli, siamo legittimati a presuppone che essi si arrestino al suolo nel luogo d’impatto, quindi v_f= 0\rightarrow E_f=0. Quindi:

E_k=E_f=\frac{1}{2}mv_f^2

Possiamo quindi aggiornare la tabella precedente, aggiungendo anche l’energia finale della meteorite di raggio = 3 cm.

Specie chimicaDensità (Kg/m^3)Velocità terminale (m/s)massa (Kg) con r= 3 cmEnergia (j)
Condriti ordinarie330064,90,373785,54
Condriti carbonacee285060,40,322587,35
Enstatiti360067,80,407935,46
Acondriti290060,90,328608,25
Rocciose-Ferrose450075,90,5091466,13
Ferrose8000101,20,9044629,13

Se si pensa alle dimensioni che abbiamo dato all’oggetto, pare evidente che si tratti di energie di tutto rispetto, e ad ogni modo non auguro a nessuno di essere colpito da un meteorite, specie se ferroso, per quanto piccolo possa essere. Un’ultima curiosità.

Nel S.I, l’unità che misura l’energia delle deflagrazioni è il megaton (}Mt): un megaton equivale all’esplosione di un milione di tonnellate di TNT, cioè 4,184 \cdot 10^{15} J . 

Nel caso dell’ oggetto di 3 cm avremmo un’ energia, ridicola su questa scala, di 10^{-12}MtMa lo stesso non si può certo dire di alcuni eventi catastrofici a tutti noti: le bombe atomiche di Hiroshima e Nagasaki avevano un energia di 16 e 21 kilotoni rispettivamente. L’esplosione del meteoroide di Celyabinsk 1,2 Mt, quella nella regione siberiana di Tunguska del 1908, 15 Mt. E ancora, lo tsunami-terremoto del 2004 nell’Oceano Indiano, 26 Mt. L’ evento K-T ( l’asteroide della famiglia Baptistina che 65 milioni di anni, fa cadendo nello Yucatan, innescava una serie di concatenazioni capaci di portare all’estinzione dei dinosauri e dell’85% delle specie viventi sul nostro pianeta), ben 100 milioni di megaton! 100 milioni!! E come disse bene qualcuno, la fine arriverà dal cielo; c’è da scommetterci..

Andrea.B@Webmaster

About Andrea.B@Webmaster

Di formazione giuridica, da circa 15 anni mi interesso di astronomia ,di aeroplani, di scienza in genere e divulgazione.
This entry was posted in Astro. Bookmark the permalink.

One Response to Velocità terminale delle meteore

  1. Mauro says:

    Oggetti sempre affascinanti le meteore…Bel pezzo.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *

diciannove − 14 =